第四章 随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征 讨论随机变量数字特征的原因 1. 在实际问题中，有的随机变量的概率分布 难确定，有的不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。 （2）实际应用中，人们更关心概率分布的数字特征。 （3）一些常用的重要分布，如二项分布、泊松 分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体 的分布。 §4.1 数学期望 一、数学期望的概念 1.离散性随机变量的数学期望 例4．1：大学一年级某班有32名同学，年龄情况如下： |年龄 |17 |18 |19 |20 |21 |22 | |人数 |2 |7 |10 |8 |4 |1 | 求该班同学的平均年龄。 解： 平均年龄=[pic] [pic] 把上式改写为： [pic] 设X为从该班任选一名同学的年龄，其概率分布为 |X |17 |18 |19 |20 |21 |22 | |P |2/32 |7/32 |10/32 |8/32 |4/32 |1/32 | 定义4.1：设离散型随机变量X的分布列为： |[pic] |x1 |x2 |x3 |…. |xk |…. | |[pic] |p1 |p2 |p3 |…. |Pk |…. | 若[pic]绝对收敛（即[pic]），则称它为X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望 存在），记为E(X),即 若[pic] 发散，则称X的数学期望不存在。 说明： （1）随机变量的数学期望是一个实数，它体现了随机变量取值的平均； 2. 要注意数学期望存在的条件：[pic]绝对 收敛； 3. 当X服从某一分布时，也称某分布的数学 期望为EX 。 例4．2：设X服从参数为p的两点分布，求EX EX=p 例4．3：设X(B(n,p)，求EX EX=np 例4．4：设X服从参数为(的泊松分布，求EX EX=[pic] 2.连续型随机变量的数学期望 定义4.2: 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x).若积分[pic][pic]绝对收敛，（即[pic]），则称它为X的数学期望或 均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即 [pic] 若[pic]，则称X的数学期望不存在。 例4.5:设X服从U[a,b],求E(X)。 EX=[pic] 例4.6:设X服从参数为(的指数分布，求EX EX=[pic] 例4.7:[pic]，求EX EX=[pic] 下面分析书上P101---P104例。 1. P101 2. P101 3. P102---103 解：注意由于8:00~9:00, 9:00~10:00都恰有一辆车到站，所以(i)8:00到车站的旅客在8:50前一定会上车，而(ii )8:20到车站的旅客则可以直到9:50才会上车。 例4 P103 3.随机变量函数得数学期望 定理4.1:设随机变量X的函数为Y =g(X)， 1) 若离散型随机变量X的分布律为 [pic],k =1,2,… ，[pic]绝对收敛，则Y的数学期望存在，且 [pic] 2) 若连续型随机变量X的概率密度为 f(x), Y =g(X)也是连续型随机变量，[pic]绝对收敛，则Y的数学期望存在，且 [pic][pic] 定理4.2:设二维随机变量（X ,Y )的函数Z=g(x,y) 1) 若二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律 为 [pic] 且有[pic]绝对收敛，则Z的数学期望存在，且 [pic] 2) 若二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密 度为 f (x,y),Z=g(X,Y) 也是连续型随机变量,并且[pic]绝对收敛，则Z的数学期望存在，且 [pic] 例5 P106 例6 P107 例7 P107 以下为第一版例。 例4.8:设X(U(0,((，Y=[pic],求E(Y )。 例4.9:设（X,Y）的联合分布律为 [pic] 其中[pic] 求E(XY)。 二.数学期望的性质 性质1:若c为常数，则 E(c)=c。 性质2:若c为常数，随机变量X 的数学期望存在，则:cX的数学期望存在，且E(cX)=cE(X) 性质3:若二维随机变量(X,Y)的分量X,Y的数学期望都存在，则X+Y的数学期望存在，且 E(X+Y)=E(X)+E(Y) 推论:若n维随机变量（X1,X2,...,[pic])的分量X1,X2,...,[pic]的数学期望都存在，则 X1 + X2 +...+[pic]的数学期望存在，且 [pic] 性质4:若随机变量X,Y相互独立，它们的数学期望都存在，则X(Y的数学期望存在，且 [pic] 推论:若随机变量X1,X2,....,Xn相互独立，它们的数学期望都存在，则X1X2…Xn的数学期 望存在,且 [pic] 性质5:若随机变量只取非负值，又E(X)存在，则E(X)(0。 [pic] [pic]若[pic]对任何[pic][pic]，[pic]存在，则 [pic] [pic]。 [pic]特别地，若[pic]为常数，[pic]存在，则[pic]。 例8 P109 例9 P110 第一版例 例4.14：设一批同类型的产品共有N件，其中次品有M件。今从中任取n（假定n≤N- M）件，记这n件中所含次品数为X，求E（X）。 三.综合性的例题（第一版） 例:设X的概率密度为 [pic]， 其中a,b为常数，且E（X）=[pic]。求a,b的值。 注意：f(x)中有几个未知数要建几个方程来求之。 例: 射击比赛规定：每位射手向目标独立重复射击四法子弹，全未中的0分，仅中一发得15分 ，恰中两发得30分，恰中三发得55分，全中得100分。若某射手的命中率为0.6，求他得 分的数学期望。 例:某水果商店，冬季每周购进一批苹果。已知该店一周苹果销售量X(单位:kg)服从U[1 000,2000]。购进的苹果在一周内售出，1kg获纯利1.5元；一周内没售出，1kg需付耗损 、储藏等费用0.3元。问一周应购进多少千克苹果，商店才能获得最大的平均利润。 §4-2 方差 一.方差的概念 1、定义4.3:设[pic]随机变量X的数学期望为E(X),若E(X- E(X))2存在，则称它为X的方差（此时，也称X的方差存在），记为D(X)或Var(X),即 D(X)=E(X-E(X))2 称D(X)的算术平方根[pic]为X的标准差或均方差，记为[pic]，即 [pic] 由数学期望的性质5知，若随机变量X的方差D(X)存在，则D(X)(0。简言之，方差是一个 非负实数。 当X服从某分布时，我们也称某分布的方差为D(X)。 2、计算方差 （1）若X是离散型随机变量，其分布律为pi=P(X=xi),i=1,2,...,且D(X)存在，则 [pic] （2）若X是连续型随机变量，其概率密度为f(x),且D(X)存在，则 [pic] （第一版） 例1：设X(B(1,p)，求D(X) 例2：设X(N((,(2)，求D(X) 例3：设X(U[a,b]，求D(X) (3)D(X)=E(X2)-(EX)2 证明：P112. 1. P112 2. P112 （第一版） 例4：设X(((()，求D(X) 例5：已知[pic][pic]，求[pic] 二.方差的性质 性质1:若C为常数，则 D(C)=0 性质2:若C为常数,随机变量X的方差存在，则CX的方差存在，且 D(CX)=C2D(X) 证明由自己完成 性质3:若随机变量X,Y相互独立，它们的方差都存在，则X(Y的方差也存在，且 D(X(Y)=D(X)+D(Y) 证明：P113 推论:若随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，它们的方差都存在，则X1+X2+...+Xn的方差存在 ，且 [pic] 性质4:若随机变量X的方差存在，对任意的常数C(E(X),则 D(X)=[pic] ( E(X-C)2 即函数g(C)=E(X-C)2在C=E(X)处达到最小值D(X)。 性质5若D(X)存在，则D(X)=0的充要条件是: P(X=E(X))=1 例3 P113 第一版例： 例6：X服从 B(n,p),求D(X). 例7：某种商品每件表面上的疵点数X服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点。若规定表 面不超过一个疵点的为一等品，价值十元，表面疵点数大于1不多于4的为二等品，价值 8元。某件表面疵点数是4个以上着为废品，求产品价值的均值和方差。 已知[pic] 设产品价值为[pic] |[pic]取值 |0 |8 |10 | |X |(X>4) |([pic]) |(X[pic]) | |P([pic]Y=k) |P(X>4= |P([pic]) |P(X[pic]) | | |1-0.8088 |=P([pic])- |=1- | | |-0.1898 |P([pic]) |P(X[pic]) | | | |=[1-P([pic])] |=0.8088 | | | |-[1-P([pic])] | | | | |=0.1898 | | [pic] 元 [pic] [pic] 例 ：设随机变量X的方差D(X)存在,且D(X)(0令[pic],其中E(X)是X的数学期望，求[pic]。 三．契比雪夫不等式(Chebyshev) 契比雪夫不等式：设随机变量X的方差D(X)存在，则对任意的((0，均有 P{(X-E(X)(((} ( [pic] 或等价地 P{(X-E(X)(((}(1-[pic] 例：P{(X-E(X)((3σ}(0.8889 P{(X-E(X)((4σ}(0.9375 解：P{(X-E(X)((3σ}(1-[pic] =1-[pic] P{(X-E(X)((4σ}(1-[pic] Data; A=8/9; put a=; A=15/16; put a=; Run; A=0.8888888889 A=0.9375 §4.3 几种生要随机变量的数学期望与方差 P115 这部分结果很重要，要牢记。 P117， 关于正态随机变量的三个重要数据： [pic] [pic] =0.6826894921 [pic] [pic] =0.9544997361 [pic] [pic] =0.9973002039 SAS的两种计算公式： data; p1=PROBNORM(1)-PROBNORM(-1); put p1=; p2= PROBNORM(2)-PROBNORM(-2); put p2=; p3= PROBNORM(3)-PROBNORM(-3); put p3=; run; p1=0.6826894921 p2=0.9544997361 p3=0.9973002039 data; p1=2*PROBNORM(1)-1; put p1=; p2=2*PROBNORM(2)-1; put p2=; p3=2*PROBNORM(3)-1; put p3=; run; p1=0.6826894921 p2=0.9544997361 p3=0.9973002039 也可以验证数据，即以[pic]为中心，需要几倍的标准差[pic]距离所构成的区间，其区 间内的概率为上述所示。 Data; q1=abs(probit((1-0.6826894921)/2));put q1=; q2=abs(probit((1-0.9544997361)/2));put q2=; q3=abs(probit((1-0.9973002039)/2));put q3=; run; q1=0.9999999999 q2=2 q3=2.9999999959 data; q1=probit(1-(1-0.6826894921)/2);put q1=; q2=probit(1-(1-0.9544997361)/2);put q2=; q3=probit(1-(1-0.9973002039)/2);put q3=; run; q1=0.9999999999 q2=2 q3=2.9999999959 注意：[pic]为中心，概率为90%,95%，98%，99%的区间，需要几倍的标准差[pic]距离。 Data; q1=abs(probit((1-0.9)/2));put q1=; q2=abs(probit((1-0.95)/2));put q2=; q3=abs(probit((1-0.98)/2));put q3=; q3=abs(probit((1-0.99)/2));put q3=; run; q1=1.644853627 q2=1.9599639845 q3=2.326347874 q3=2.5758293035 比如，[pic] =0.95 [pic] =0.9 等的结论也是常用的。几乎都成常识了。 书示附表1中列出了多种常用的随机变量的数据期望和方差。 §4.4 协方差及相关系数 一.协方差与相关系数的概念 1.定义 定义4.4：设二维随机变量(X,Y),它的分量的数学期望为E(X),E(Y)，若E[(X-E(X))(Y- E(Y))]存在，则称它为X,Y的协方差，记为Cov(X,Y),即 Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))] 2.计算 (1)用定义计算 若二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布律[pic]i,j=1,2,(，且Cov(X,Y)存在,则 Cov(X,Y)=[pic] 若二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),且Cov(X,Y)存在，则 [pic] （2）、公式 在计算Cov(X,Y)时，除用定义外，有时用下述公式较方便： Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 第一版例：不讲。 例 :设(X,Y)在圆域[pic]上服从均匀分布，判断X,Y是否不相关。并求Cov(X,Y)。 例 :设(X,Y)的联合分布律为 [pic] 其中[pic] 求 Cov(X,Y),并讨论X,Y的相关性。 说明： (1)Cov(X,Y)能反映X与Y之间某种联系的程度。 (2)Cov(X,Y)是有量纲的量，其值与(X,Y)的取值单位有关。 3.相关系数 定义4.5:若二维随机变量(X,Y)的分量的方差D(X),D(Y)都存在，且D(X)(0,D(Y)(0,则称 [pic]为X,Y的相关系数，记为(XY,即 (XY= [pic] 定义4.6：若(XY=0则称X,Y不相关； 若[pic]称X,Y正相关； 若[pic]则称X,Y负相关。 4.随机变量X,Y独立性与不相关的关系 (1)一般情况下，设[pic]存在，若X,Y相互独立, 则[pic]，即X,Y不相关。 反之，X,Y不相关,但X,Y不一定独立。 如例 ：（书4.31）（X，Y）在[pic]上均匀分布。可知X，Y 不相关，但X，Y不独立。 (2)特别，对于二维正态分布(X,Y)服从 [pic] X,Y相互独立[pic] X,Y不相关。 二 协方差与相关系数的性质 1.性质 性质1:若X,Y的协方差Cov(X,Y)存在，则 E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y) 性质2:若(X,Y)两个分量的方差都存在，则 D(X(Y)=D(X)+D(Y)(2Cov(X,Y) 推论:若(X1,X2,,...Xn)各分量的方差都存在，则 [pic] 性质3:设下述各式所出现的协方差都存在，则有 Cov(X,Y)=Cov(Y,X) Cov(aX,Y)=a Cov(X,Y) [pic] Cov(X,X)=D(X) Cov(a,X)=0 其中a为常数 例3(第一版)：设（X，Y）~[pic]，求 Cov(2X+Y,[pic]) 性质4:若 X,Y的相关系数[pic]存在，则 (1)([pic]((1; (2)([pic](=1的充要条件是：存在常数a,b 且a(0,使得概率为1的有Y=aX+b, 即 P(Y=aX+b)=1 证法一见书P-120. 几点说明: 1) 由性质的证明可见：[pic][pic][pic]，a>0 ，这时称X与Y完全正相关；[pic][pic][pic]，a
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