第十一章 期权定价模型
第十一章 期权定价模型 【学习目标】 本章是期权部分的重点内容之一。本章主要介绍了著名的Black- Scholes期权定价模型和由J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人提出的二叉树模型，并对其经济理解和应用进行了进一步的讲解。学习 完本章，读者应能掌握Black- Scholes期权定价公式及其基本运用，掌握运用二叉树模型为期权进行定价的基本方法。 自从期权交易产生以来，尤其是股票期权交易产生以来，学者们即一直致力于对期权定 价问题的探讨。1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black和Myron Scholes发表《期权定价与公司负债》[1]一文，提出了著名的Black- Scholes期权定价模型，在学术界和实务界引起强烈的反响，Scholes并由此获得1997年 的诺贝尔经济学奖。在他们之后，其他各种期权定价模型也纷纷被提出，其中最著名的 是1979年由J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人提出的二叉树模型。在本章中，我们将介绍以上这两个期权定价模型， 并对其进行相应的分析和探讨[2]。 第一节 Black-Scholes期权定价模型 一、Black-Scholes期权定价模型的假设条件 Black-Scholes期权定价模型的七个假设条件如下： 1. 期权标的资产为一风险资产（Black- Scholes期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S。S遵循几何布朗运动[3]，即 [pic] 其中，[pic]为股票价格瞬时变化值，[pic]为极短瞬间的时间变化值，[pic]为均值 为零，方差为[pic]的无穷小的随机变化值（[pic]，称为标准布朗运动，[pic]代表从标 准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值），[pic]为股票 价格在单位时间内的期望收益率（以连续复利表示），[pic]则是股票价格的波动率，即 证券收益率在单位时间内的标准差。[pic]和[pic]都是已知的。 简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个 方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化[pic]，被称为漂移率，可以被看成一个总 体的变化趋势；二是随机波动项，即[pic]，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总 体趋势的部分。 2．在期权有效期内，标的资产没有现金收益支付。综合1和2，意味着标的资产价格 的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。 3. 没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。综合2和 3，意味着投资者的收益仅来源于价格的变动，而没有其他影响因素。 4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。 5. 在期权有效期内，无风险利率[pic]为常数，投资者可以此利率无限制地进行借贷。 6．期权为欧式看涨期权，其执行价格为[pic]，当前时刻为[pic]，到期时刻为[pic] 。 7．不存在无风险套利机会。 二、Black-Scholes期权定价模型 （一）Black-Scholes期权定价公式 在上述假设条件的基础上，Black和Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期 权的一个微分方程： [pic] （11.1） 其中f为期权价格，其他参数符号的意义同前。 通过解这个微分方程，Black和Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的 定价公式： [pic] （11.2） 其中， [pic] c为无收益资产欧式看涨期权价格；N（x）为标准正态分布变量的累计概率分布函数 （即这个变量小于x的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有[pic]。 （二）Black-Scholes期权定价公式的理解 1.期权价格的影响因素 首先，让我们将Black- Scholes期权定价公式与第十章中分析的期权价格的影响因素联系起来。在第十章中，我 们已经得知期权价格的影响因素包括：标的资产市场价格、执行价格、波动率、无风险 利率、到期时间和现金收益。在式（11.2）中，除了由于我们假设标的资产无现金收益 之外，其他几个参数都包括在内，且影响方向与前文分析的一致。 2.风险中性定价原理 其次我们要谈到一个对于衍生产品定价非常重要的原理：风险中性定价原理。观察式 （11.2），以及第十章中的期权价格影响因素分析，我们可以注意到期权价格是与标的 资产的预期收益率无关的。即在第一节我们描述标的资产价格所遵循的几何布朗运动时 曾经出现过的预期收益率[pic]在期权定价公式中消失了。这对于寻求期权定价的人们来 说无疑是一个很大的好消息。因为迄今为止，人们仍然没有找到计算证券预期收益率的 确定方法。期权价格与[pic]的无关性，显然大大降低了期权定价的难度和不确定性。 进一步考虑，受制于主观风险收益偏好的标的证券预期收益率[pic]并未包括在期权 的价值决定公式中，公式中出现的变量为标的证券当前市价（S）、执行价格（X）、时 间（t）、证券价格的波动率（[pic]）和无风险利率[pic]，它们全都是客观变量，独立 于主观变量——风险收益偏好。既然主观风险偏好对期权价格没有影响，这使得我们可以 利用Black- Scholes期权定价模型所揭示的期权价格的这一特性，作出一个可以大大简化我们工作的 简单假设： 在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。 在所有投资者都是风险中性的条件下（有时我们称之为进入了一个“风险中性世界”） ，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要 额外的收益来吸引他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流量都可以通过 无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。 应该注意的是，风险中性假定仅仅是一个人为假定，但通过这种假定所获得的结论不 仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。 为了更好地理解风险中性定价原理，我们可以举一个简单的例子来说明。 假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么 是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨 期权的价值。 由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价 格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0 。 为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和[pic]单位的标的 股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于（11[pic]－ 0.5）元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9[pic]元。为了使该组合价 值处于无风险状态，我们应选择适当的[pic]值，使3个月后该组合的价值不变，这意味 着： 11[pic]－0.5=9[pic] [pic]=0.25 因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。无论3个月后股 票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。 在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率。假设现在的无风险年利率 等于10%，则该组合的现值应为： [pic] 由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元， 因此： [pic] 这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。 从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到11元的概 率和下降到9元的概率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。事实上，只要股票的 预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了。例如，在风险中性世界中，无风 险利率为10%，则股票上升的概率P可以通过下式来求： [pic] P=62.66%。 又如，如果在现实世界中股票的预期收益率为15%，则股票的上升概率可以通过下式 来求： [pic] P=69.11%。 可见，投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率，而股票的预期收益率决定了股 票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如何，从而无论该股票上升或下降的概 率如何，该期权的价值都等于0.31元。 3. 对期权定价公式的经济理解。 首先，从Black- Scholes期权定价模型自身的求解过程来看[4]，N(d2)实际上是在风险中性世界中ST大于 X的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率，因此，e-r(T- t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值，更朴素地说，可以看成期权可能带来的收入现值 。SN(d1)= e-r(T- t)ST N(d1)是ST的风险中性期望值的现值，可以看成期权持有者将来可能支付的价格的 现值。因此整个欧式看涨期权公式就可以被看作期权未来期望回报的现值。 其次，[pic]，显然反映了标的资产变动一个很小的单位时，期权价格的变化量；或 者说，如果要避免标的资产价格变化给期权价格带来的影响，一个单位的看涨期权多头 ，就需要[pic]单位的标的资产空头加以保值。事实上，我们在第十二章中将看到，[pic] 是复制交易策略中股票的数量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T- t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。 最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权（As set-or-noting call option）多头和现金或无价值看涨期权（cash-or-nothing option）空头，SN(d1)是资产或无价值看涨期权的价值，-e-r(T- t)XN(d2)是X份现金或无价值看涨期权空头的价值。这是因为，对于一个资产或无价值看 涨期权来说，如果标的资产价格在到期时低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执 行价格，则该期权支付一个等于资产价格本身的金额，根据前文对N(d2)和SN(d1)的分析 ，可以得出该期权的价值为e-r(T-t)STN(d1)= SN(d1)的结论；同样，对于（标准）现金或无价值看涨期权，如果标的资产价格在到期 时低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付1元， 由于期权到期时价格超过执行价格的概率为N(d2)，则1份现金或无价值看涨期权的现值 为-e-r(T-t) N(d2)。 （三）Black-Scholes期权定价公式的拓展 1.无收益资产欧式看跌期权的定价公式 Black- Scholes期权定价模型给出的是无收益资产欧式看涨期权的定价公式，根据欧式看涨期权 和看跌期权之间的平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式： [pic] （11.3） 2. 无收益资产美式期权的定价公式 在标的资产无收益情况下，由于C=c，因此式（11.2）也给出了无收益资产美式看涨 期权的价值。 由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，因此美式看跌期权的定价 还没有得到一个精确的解析公式，但可以用数值方法以及解析近似方法求出。 3. 有收益资产期权的定价公式 到现在为止，我们一直假设期权的标的资产没有现金收益。那么，对于有收益资产， 其期权定价公式是什么呢？实际上，如果收益可以准确地预测到，或者说是已知的，那 么有收益资产的欧式期权定价并不复杂。 在收益已知情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金 收益的现值部分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现 金收益而消失。因此，我们只要用S表示有风险部分的证券价格。[pic]表示风险部分遵 循随机过程的波动率[5]，就可直接套用公式（11.2）和（11.3）分别计算出有收益资产 的欧式看涨期权和看跌期权的价值。 当标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用（S－I）代替式（11.2）和（11.3） 中的S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。 当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将[pic] 代替式（11.2）和（11.3）中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期 权的价格。在各种期权中，股票指数期权、外汇期权和期货期权的标的资产可以看作支 付连续红利率，因而它们适用于这一定价公式。具体的内容，我们将在第十三章深入阐 述。 另外，对于有收益资产的美式期权，由于有提前执行的可能，我们无法得到精确的解 析解，仍然需要用数值方法以及解析近似方法求出。 三、Black-Scholes期权定价公式的计算 1. Black-Scholes期权定价模型的参数 我们已经知道，Black- Scholes期权定价模型中的期权价格取决于下列五个参数：标的资产市场价格、执行价格 、到期期限、无风险利率和标的资产价格波动率（即标的资产收益率的标准差）。在这 些参数当中，前三个都是很容易获得的确定数值。但是无风险利率和标的资产价格波动 率则需要通过一定的计算求得估计值。 1. 估计无风险利率 在发达的金融市场上，很容易获得对无风险利率的估计值。但是在实际应用的时候仍 然需要注意几个问题。首先，我们需要选择正确的利率。一般来说，在美国人们大多选 择美国国库券利率作为无风险利率的估计值...
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