第六章 样本与抽样分布
样本与抽样分布 §6.1 数理统计的基本概念 一．数理统计研究的对象 例：有一批灯泡，要从使用寿命这个数量指标来看其质量,设寿命用X表示。 (1)若规定寿命低于1000小时的产品为次品。此问题是求P(X(1000)=F(10000),求F([pic] )? (2)从平均寿命、使用时数长短差异来看其质量，即求E([pic])?、D([pic])?。 要解决二个问题 1．试验设计抽样方法。 2．数据处理或统计推断。 方法具有“从局部推断总体”的特点。 二.总体（母体）和个体 1.所研究对象的全体称为总体，把组成总体的每一个对象成员（基本单元）称为个体。 说明： 1) 对总体我们关心的是研究对象的某一项或某几项数量指标(或属性指标)以及他们在整体 中的分布。所以总体是个体的数量指标的全体。 (2)为研究方便将总体与一个R.V X对应(等同)。 a. 总体中不同的数量指标的全体，即是R.V.X的全部取值。 b. R.V X的分布即是总体的分布情况。 例：一批产品是100个灯泡，经测试其寿命是： 1000小时 1100小时 1200小时 20个 30个 50个 X 1000 1100 1200 P 20/100 30/100 50/100 (设X表示灯泡的寿命)可知R.V.X的分布律， 就是总体寿命的分布，反之亦然。 常称总体X，若R.VX～F([pic])，有时也用F([pic])表示一个总体。 (3)我们对每一个研究对象可能要观测两个或多个数量指标，则可用多维随机向量（X,Y ,Z, …）去描述总体。 2.总体的分类 有限总体 无限总体 三．简单随机样本. 1.定义6.1 ：从总体中抽得的一部分个体组成的集合称为子样（样本），取得的个体叫样品，样 本中样品的个数称为样本容量（也叫样本量）。每个样品的测试值叫观察值。 取得子样的过程叫抽样。 样本的双重含义： (1)随机性： 用([pic]X[pic]，X[pic],……X[pic]) n维随机向量表示。 X[pic]表示第i个被抽到的个体，是随机变量。（i=1,2,…n） (2)确定性： ([pic][pic],[pic][pic],……[pic][pic])表示n个实数，即是每个样品X[pic]观测值[pic] [pic](i=1,2,…n)。 2.定义6.2： 设总体为X，若X[pic],X[pic]……X[pic]相互独立且与X同分布，则称（X[pic],X[pic] …X[pic]）为来自总体X的容量为n的简单随机样本（简称样本）。 3.已知总体的分布写出子样的分布 (1)已知总体X～F([pic]),则样品X[pic]～[pic]F([pic][pic]) i=1,2…n样本（X[pic],X[pic]…X[pic]）的联合分布为： F([pic][pic],[pic][pic]…[pic][pic])=P(X[pic][pic][pic][pic],X[pic][pic][pic] …X[pic][pic][pic]) =[pic]P(X[pic][pic][pic]) =[pic]F([pic][pic]) 若总体X～f([pic]),样品X[pic]～f([pic][pic]) i=1,2……n 样本（X[pic],X[pic]……X[pic]）的联合密度是 ： f([pic][pic],[pic][pic]……[pic][pic])=[pic]f([pic][pic]) 例:总体X～N([pic]，写出该总体样本（X[pic],X[pic]…X[pic]）的 联合密度。 (2)若总体X是离散型随机变量，一般给出分布律： P(X=[pic]k) = pk. k=1,2…… 要写出概率函数f([pic])即f([pic])=P(X=[pic]k)=[pic] [pic]=1,2….., [pic] 例: 总体X～((()写出该总体样本(X1,X2,…Xn)的联合概率函数 例：总体X～B(1,p)， 0(p(1写出其样本 （X[pic],X[pic],……X[pic]）的联合概率函数。 四 经验分布函数与直方图 1.样本的经验分布函数 (1)定义：设([pic]1, [pic]2,…[pic]n)是来自总体X的一组样本值。将它们按由小到大排序为： [pic]1(([pic]2((…([pic]i((…([pic]n( 对任意的实数[pic]， 定义函数： Fn( (x)=[pic][pic] [pic] 则称F[pic]([pic])为总体X的经验分布函数。 2) 格列文科定理: 设总体X的分布函数、经验分布函数分别为F([pic])、Fn(([pic]),则有： P[pic]=1 上式表明，当[pic] ，概率为1的有F[pic]均匀地趋于F([pic])。 2总体的概率密度的估计(直方图 （第一版） [p143 例6.3] 可以用SAS下的interactive data analysis 模块演示。 五 统计量与样本的数字特征 1 定义6.3: 设X1,X2,…,Xn是来自总体X的容量为n的样本，g([pic]1, [pic]2,…, [pic]n)是定义在Rn或Rn子集上的普通函数。如果g中不含有任何未知量，则称g(X1,X2, …,Xn)为统计量。 2.常用的统计量（样本的数字特征） 定义6.4：设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本，则称 [pic] 为样本均值[pic][pic] 为样本方差 [pic] 为样本k阶原点矩 [pic] 为样本k阶中心矩 3.重要性质 定理6.1：设总体X不论服从什么分布，只要其二阶矩存在，即E(X)=μ、D(X)=б2都存在， 则： (1) E([pic])=E(X)=μ (2) D([pic] )=[pic]D(X)=[pic] (3) E(S2)=D(X)=б2 重要恒等式:[pic] §6.2 抽样分布 统计量是样本的函数，它是一个随机变量。统计量的分布称为抽样分布。 一. 三个重要分布 (一)[pic]分布 1. 定义6.5：设X1，X2，…Xn相互独立，均服从N(0,1)，则称随机变量[pic]服从自由度为 n的[pic]分布，记为[pic]，即：[pic]。 2.定理3.8：[pic]的概率密度为 [pic] 其中[pic] 定理的说明见P146页。 3.图形. 分布函数图： data Kf; do x=0 to 30 by 0.1; y= PROBCHI(x, 8); output; end; run; proc gplot data=kf; plot y*x=1 ; symbol1 v=none i=join r=1 c=black; run; 密度函数图：n=1,5,15 data kf; do y=0 to 20 by 0.1; z0=(y**(-0.5)*exp(-y/2))/(2**0.5* GAMMA(0.5)); z1=(y**(1.5)*exp(-y/2))/(2**2.5* GAMMA(2.5)); z2=(y**(6.5)*exp(-y/2))/(2**7.5* GAMMA(7.5)); output; end; run; proc gplot data=kf; plot z0*y=1 z1*y=1 z2*y=1 /overlay ; symbol1 v=none i=join r=1 c=black; run; 求概率： 自由度为n=25, P{X45时, [pic], tα(n)=uα 。 注意：T～t(n)的密度是偶函数。 称满足[pic]正数[pic]为分布的双侧[pic]分位数。 易知: [pic]查表可得,且 [pic] 同样标准正态分布有: [pic] 。 例：n=20的t分布，求其0.1的上分位数，有 data ; q=TINV(1-0.1,5); put q=; q=TINV(1-0.1,10); put q=; q=TINV(1-0.1,20); put q=; q=TINV(1-0.1,50); put q=; q=TINV(1-0.1,100); put q=; q=TINV(1-0.1,200); put q=; qnorm=(probit(1-0.1));put qnorm=; run; q=1.4758840488 q=1.3721836411 q=1.325340707 q=1.2987136942 q=1.2900747613 q=1.285798794 qnorm=1.2815515655 对于概率：我们看一下当n很大时，t(n)和标准正态分布的近似性。 data; prob_t=PROBT(1.3, 5); put prob_t=; prob_t=PROBT(1.3, 10); put prob_t=; prob_t=PROBT(1.3, 20); put prob_t=; prob_t=PROBT(1.3, 50); put prob_t=; prob_t=PROBT(1.3, 100); put prob_t=; prob_t=PROBT(1.3, 200); put prob_t=; Prob_n=PROBNORM(1.3);put Prob_n=; Run; (3)若F～F(m ,n) 称满足P{F>Fα(m,n)}=[pic]的数Fα(m,n)为F分布的上[pic]分位数。 查表：①表中有的[pic]可直接查表P250 ②表中没有的[pic] [pic] 三.正态总体的[pic]、S2的分布 定理6.2：(费歇(Fisher)定理) 设总体X～N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本，其样本均值和样本方差分别记为[pic] 和S2。 则有(1)[pic]与S2相互独立。 (2)[pic] (3)[pic] 证明见书P150 推论1：[pic] 例：总体[pic]，问[pic]与[pic]是否独立？ 又问[pic]+[pic]服从什麽分布？ 推论2：[pic] 定理6.3：设有两个总体: [pic],其样本为X1,X2,… ,Xn，样本均值[pic]，样本方差[pic]总体[pic],其样本为[pic],样本均值为[pic],样本 方差为[pic],且两个样本相互独立.则有： (1) [pic] (2) [pic] (3) [pic] 特别当[pic]时， [pic] (4)当[pic]时， [pic]， 其中 [pic] 例：设总体[pic]，[pic]为来自总体的样本。令[pic]， 试确定[pic]使[pic]服从[pic]分布，并指出其自由度。 本章习题：1~8 附加： 设总体X服从贝努里b(1,p)分布，其中p是未知参数。X=(X1,…X5)是从中抽取的一简单随 机子样。写出它的子样空间和X的概率分布；
第六章 样本与抽样分布