第五章 大数定律和中心极限定理
第五章 大数定律和中心极限定理 §1 大数定律 设X1,X2,...Xn,...是一随机变量列，a1,a2,...an,...是一常数列，令Yn=[pic] n=1,2,...,，所谓大数定律就是研究(Yn-an)收敛到0的定理。按收敛意义的不同，有弱 大数定律和强大数定律。我们主要介绍弱大数定律，弱大数定律也称大数定律。 契比雪夫不等式 设R.V.X，其[pic]都存在，则对任意[pic]均有 [pic] 或 [pic] 一、大数定律 定理5.1:(契比雪夫大数定律） 若X1,X2,...Xn,...相互独立，它们的数学期望和方差都存在，且方差一致有界，即E(X i)=(i, D(Xi)=(i2(C(常数） i=1,2,... 则对任意的((0，均有 [pic]P{(Yn-E(Yn)(((}=1 (5.1) 其中Yn=[pic] 定理5.2（伯努利大数定律） 设伯努利试验中，事件A发生的概率为p(0(p(1)，m为n重伯努利试验中事件A发生的次数 ，则对任意的((0，均有 [pic] (5.2) 定理5.3 （辛钦大数定律） 若X1,X2,...,Xn,...相互独立同分布，其数学期望存在，即E(Xi)=(,i=1,2,...，则对任 意的((0，均有 [pic] (5.3) 例:设X1,X2,...,Xn,...独立同分布，且X i的k阶矩m k=E(X ik)存在（k为正整数），则 对任意的((0，均有 [pic] 二、中心极限定理 定理5.4 (林德贝格-莱维定理） 若X1,X2,...,Xn,...相互独立同分布，其数学期望和方差均存在且方差大于零，即E(Xi )=(, D(Xi)=(2(0, i=1,2,...则[pic]的标准化随机变量[pic]的分布函数[pic]对于任意的x满足 [pic] 即[pic]的分布函数[pic][pic]. 当[pic]很大时近似公式 [pic][pic][pic][pic][pic]. 例:为了把问题简化，假定在计算机上进行加法计算时，对每个数都取最接近它的整数（ 即取整）再相加。设n个数取整之后的误差依此为[pic]它们相互独立，都在[- 0.5，0.5]上服从均匀分布。求 1. 1200个数相加时，误差总和的绝对值小于10的概率。 2. 多少个数相加时，误差总和的绝对值小于15的概率大于0.9。 定理5.5:（德莫佛-拉普拉斯积分极限定理） 设伯努利试验中，事件A发生的概率为p(0(p(1)，m为n重伯努利试验中事件A发生的次数 ，则对任意的x,均有 [pic][pic] 应用：当n充分大[pic]，[pic]. 例:有一大批种子其中良种占20%，从中任取5000粒[pic]，试问这些种子中良种所占比例 与[pic]（即20%）之差小于0.01的概率。 注 ：[pic]* 可认为是有放回抽取。 例.设某车间有150台机床独立工作， 已知每台机床在运转时耗电量都是5(千瓦).因检修等原因,每台机床平均只有60%的时间 在运转.试问,配电室至少要供给这个车间多少电.才能以99.9%的概率保证这个车间不致 因供电不足而影响机床工作. 实用中：[pic] [pic]较小，[pic]，[pic]； 　[pic] 　[pic]较大，[pic]较小，[pic]适中，[pic]　为好，[pic]. 　[pic]　[pic]较大，[pic]时，[pic].
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