第三章 多维随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其分布 随机向量的定义： 随机试验的样本空间为S={(}，若随机变量X1((),X2((),…,Xn(()定义在S上，则 称（X1((),X2((),…,Xn(()）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,Xn）。 二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。 对（X,Y）研究的问题： 1．（X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数 、联合概率密度；Joint 2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘 概率密度； marginal 3．X与Y的相互关系； 4．（X,Y）函数的分布。 § 3.1 二维随机变量的分布 一．离散型随机变量 1．联合分布律 定义3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。 设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(xi,yj), i，j=1,2…,取这些值的概率为 pij=P{(X,Y)=(xi,yi)}=p{X=xi,Y=yi}i,j=1,2,… ——(3.1) 称 (3.1)式为(X,Y)的联合分布律。 (X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下： | Y |y1 y2 … yj … |X的边缘分布率 | |X | | | |X1 |p11 p12 p1j … |P1(. | |X2 |p21 p22 p2j … |P2( | |( | ( ( ( |( | |xi |pi1 pi2 pij … |Pi( | |( |( ( ( |( | |Y的边缘分布率 |P(1 p(2 ( p(j … |1 | 性质： (1) pij ( 0，i, j=1,2,… (2) [pic]=1 2．边缘分布律 设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为 pij= P{X=xi,Y=yi} i, j=1,2,… 分量X和Y的分布律分别为 pi.=P{X=xi} i=1,2,… 满足①pi.(0②( pi.=1 p.j= p{Y=yi}j=1,2,… ①p.j(0②( p.j=1 我们称pi.和p.j分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。 二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系： pi.=P{X=xi}=P{X=xi, S}=P{X=xi,[pic][pic](Y=yj)} =[pic]P{X=xi,Y=yj}=[pic]pij (3.4) 同理可得 p.j =[pic]pij (3.5) 例1:一整数X随机地在1，2，3三个整数中任取一值，另一个整数Y随机地在1到X中取一值 。试求（X,Y）的联合分布率及边缘分布率。 解： [pic] | Y |1 |2 |3 |X的边缘分布率 | | |X | | | | | | |1 |1/3 |0 |0 |1/3 |p1( | |2 |1/6 |1/6 |0 |1/3 |p2( | |3 |1/9 |1/9 | 1/9 |1/3 |p3( | |Y的边缘分布率 |11/18 |5/18 |1/9 |1 | | | |P(1 |p(2 |p(3 | | 二．联合分布函数与边缘分布函数 1．定义3.2 设（X,Y)是二维随机变量，对任意的实数x,y令 F(x,y)=P{X(x,Y(y} (3.7) 则称 F(x,y)为（X,Y）的联合分布函数。 [pic] 2．F(x,y)的性质： 性质1 对于x和y,F(x,y)都是单调不减函数，即若x1
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