第一章 概率论的基本概论
1. 概率论的基本概论 确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等 随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能 确切地预测的。 由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。 例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万 能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是 随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。 例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。 随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？ 这就要引入”概率”的概念。 概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大 小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。 §1.1 随机试验 |序号 |条件 |观察特性 |可能结果 | | |抛一枚硬币 |正、反面出现的情况 |正面H,反面T | |E1 | | | | |E2 |将一枚硬币抛掷三次 |正、反面出现的情况 |HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TT| | | | |H,TTT | |E3 |同上 |出现正面的次数 |0,1,2,3 | | |抛一颗骰子 |出现的点数 |1, 2, 3， | |E4 | | |4，5，6 | | |记录电话交换机呼唤次数 |一分钟内接到的呼唤次数 |0,1,2,3,…. | |E5 | | | | |E6 |一批灯泡中任抽取一次 |测量使用寿命 |[pic]非负实数 | | |记录某地昼夜温度 |最高和最低温度 |[pic] | |E7 | | | | 以上试验的共同特点是: 1．试验可以在相同的条件下重复进行； 2．试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果； 3．每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发生哪一个 可能结果在试验之前不能预言。 我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。我 们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E。 §1.2样本空间与随机事件 (一) 样本空间与基本事件 E的一个可能结果称为E的一个基本事件，记为ω，e等。 E的基本事件全体构成的集，称为E的样本空间，记为S或[pic], 即：S={ω|ω为E的基本事件}，[pic]={e}. 注意：ω的完备性，互斥性特点。 例：§1.1中试验 E[pic]--- E7 E[pic]：S[pic]={H,T} E[pic]：S[pic]={ HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT } E[pic]：S[pic]={0，1，2，3} E[pic]：S[pic]={1,2,3,4,5,6} E[pic]: S[pic]={0,1,2,3,…} E[pic]：S[pic]={t[pic]} E7：S[pic]={[pic][pic]} （二） 随机事件 我们把试验E 的全部可能结果中某一确定的部分称为随机事件。记为 [pic] 事件是由基本事件组成的，事件是样本空间的子集。 |集合论 |集合 点 子集 | |概率论 |S [pic] A | 在一次试验中，事件A 发生的含义是，当且仅当A 中的某一个基本事件发生。事件A 发生也称为事件A 出现。 必然事件：S 不可能事件：[pic] 例1.(P4) 在E2中事件A1:”第一次出现是的H”, 即： (三) 事件的关系与运算 设E 的S ，A ，B，[pic] 1．[pic] 2．[pic] 3．[pic] 4．[pic] 5．[pic] [pic] 7．[pic]。 记[pic]。 (常用的关系） 补充 1．[pic] 2．[pic] 3．[pic] 吸收律 若[pic]，则[pic] 特别注意：[pic] 德·莫根律（对偶公式） [pic] 推广：[pic]，[pic]。 例2：P6,在例1中…. 其它例子： 例3：[pic]：设[pic]{甲中}，[pic]{乙中}，问[pic]与[pic]各表示什么事件？是否 是相等事件？ 留为练习 例4：一射手向目标射击3发子弹，[pic]表示第i次射击打中目标[pic]。试用[pic]及 [pic]其运算表示下列事件： （1）“三发子弹都打中目标”； （2）“三发子弹都未打中目标”； （3）“三发子弹至少有一发打中目标”； （4）“三发子弹恰好有一发打中目标”； （5）“三发子弹至多有一发打中目标”. 留为练习 §1.3 概率与频率 1. 事件的频率及其稳定性 设某试验[pic]的样本空间为[pic]，[pic]为E的一个事件。把试验E重复进行了n次，在 这n次试验中，A发生的次数[pic]称为A的频数。称[pic]为事件A在n次试验中发生的频 率，记作: [pic]。 频率的基本性质 1) 对任意事件A，有[pic]； 2) [pic]，[pic]； 3) 若[pic]是互不相容的，则[pic]， 推论：对任一事件A，有[pic]。 实践证明：当试验次数n很大时，事件A的频率[pic]几乎稳定地接近一个常数 p。频率的这种性质称为频率的稳定性，它是事件本身所固有的。书上p8—9页例1，2. 概率的频率定义 定义1.1 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n次试验中事件A发生的次数。当试验次数 n很大时，如果频率[pic]稳定地在某数值p附近摆动，而且一般地说，随着试验次数的增 加，这种摆动的幅度越来越小，则称数值p为事件A在这一组不变的条件下发生的概率， 记作[pic]p。 补充：概率的几种度量方法 事件A的概率，记为P(A)，表示该事件发生的可能性大小，是事件的一个非负实 值函数，满足某种概率进行代数运算的公理。 对概率P(A)有几种不同的度量方法： 前面给出了用频率度量概率的方法，也称为古典概率度量。还是二种度量方法。 1. 几何概率度量 [pic] [pic] 表示”在区域[pic]中随机取一点，而该点落在区域g中”这一事件。 例： 这时，[pic]可以是整个园：测度为面积；也可以是整个园周：测度为长度。 2. 主观概率度量 对事件A的信念度称为这一事件的概率P(A). 主观概率（信念度）是通过相对似然的概念来运算的。 例如：见朱手稿。。。 现通过例子说明此方法： 例1：事件A”明天下午3点深圳市区有雨”， 求P(A): 即求A的主观概率； 现有一大转盘，标有红色区域，事件B：”指针落在红色区域”。 让你选择A发生还是B发生的可能性大，为了迫使你选择，有这样的将励机 制，。。。选择对的话，将10万元。。。 红色区域 如果开始时，红色区域充满整个园，你当然要选B发生的可能性大，逐步调节红 色区域的大小，渐渐缩小，。。。等到选A或B都一样时停止，这时，可以由B的几何概率 作为A的主观概率。 当你对选A或B谁发生的可能性大没有偏好时，。。。 例2. 假如你面临以下两种选择：1.如果事件A发生，你将得到少量的报酬R；否则没有报酬。 2.参加抽奖，你赢得一份小报酬R的概率为P，但是你输或者说你得不到报酬的概率为1- P。 如果你对1，2两种选择没有偏好，那么你判断事件A发生的概率为P.(主观) (二) 概率的公理化定义 概率的公理化定义 定义1.2 设试验E的样本空间为S，如果对每一个事件A都有一个实数[pic]与之对应，且满足下面 三条公理： 公理1（非负性）：对任一事件A，有[pic]； 公理2（规范性）：对必然事件S，有[pic]； 公理3（完全可加性）若可列无穷多个事件[pic]互不相容，则[pic]，那么称[pic]为事 件A的概率。 概率的性质 (1)[pic]; (2)有限可加性: 若[pic]互不相容，则[pic]; (3)对事件A,都有[pic]; 4) 若[pic],则 ([pic]; ([pic]； 特别的，对任何事件A，都有[pic]; 5) 对任何两个事件A,B，都有 [pic]; 6) 对任何n个事件[pic],都有 [pic] 例10---12为第一版上的例子。 例10： A,B是E中二个事件，已知 [pic]，[pic]，求[pic] 解：[pic] [pic] 例11：在某城市的居民中订购报纸的情况是：订购A报的占45%，订购B报的占35%； 订购C报的占30%，同时订购A,B的占10%，同时订购A,C的占8%，同时订购B,C的占5%，同 时订购A,B,C的占3%。求下列事件的概率（百分率） （1）{只订购A报纸的}；（2）{至少订一种报纸的}。 例12：在所有的两位数（即从10至99）中， 任取一个数，求这个数能被2或者3整除的概率。 §1.4 等可能概型（古典概型） 一、古典概率 1．古典概型与计算公式 E满足： ① S中基本事件ω个数是有限的n ； ② 每个基本事件发生是等可能的. 称E为古典概型。 E中事件A包含k个基本事件，则A发生的概率为[pic][pic]P(A). 2．古典概率的基本性质 设E是古典概型，其样本空间为[pic]，A，A[pic]，A[pic]，…，A[pic]是E中事件： ①．0≤P（A）≤1 ②．P（S）=1，P（[pic]）=0 ③．若A[pic]，A[pic]，…，A[pic]是互不相容的事件，则有P[pic]； 推论： P（A）=1- P（[pic]）。 1. P13，将一枚硬币掷三次，。。。。 P14---17 例2—7.照书上讲。。。 以下例4---9为第一版上的例子： 例4：E[pic]中求任取一球的号码为偶数的概率。 解：设A={所取的球的号码为偶数}={ (2，(4，(6 } 即A中基本事件数k=3，于是P（A）=[pic]. 例5：（1.10）在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码[pic]。每次任取一个球，记录其号码后放回袋中，再任取下 一个。这种取法叫做“有放回抽取”。今有放回抽取3个球，求这3个球的号码均为偶数的 概率。 例6：(1.11) 在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码[pic]。每次任取一个球，记录其号码后不放回袋中，再任取 下一个。这种取法叫做“不放回抽取”。今不放回抽取3个球，求这3个球的号码均为偶数 的概率。 例7：盒中有a个红球，b个白球（a≥2 , b≥1）， 每次从中任取一球，不放回地连取三次，求下列事件的概率： (1) “ 取出的三个球依次为红，白，红色球 ”[pic]A ； (2)“ 取出的三个球有两个是红色球 ”[pic]B . 例：(1.13) 在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码[pic]。今任取两个球，求取得的第一个球号码为奇数， 第二个球号码为偶数的概率。 例8：（1.14）设一批同类型的产品共有[pic]件，其中次品有[pic]件。今从中任取[pic]（ 假定[pic]）件，求次品恰有[pic]件的概率[pic] 例9：一箱内装有同类产品六件（其中4件是正品，二件是次品）。从中每次取一件，连 取两次。求下列事件的概率： （1）“ 取到的两件产品的质量是相同的 ”[pic]A ； （2）“取到的两件产品至少有一件是正品”[pic]B . §1.5[pic]条件概率 1. 条件概率 例1 将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况，设事件A为”到少有一次为H”， 事件B为”两次掷出同一面”。现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率。 解：样本空间为S={HH,HT,TH,TT}, A={HH,HT,TH}, B={HH,TT} 于是在A发生的条件下B发生的概率（记为P(B/A)）为： P(B/A)=1/3 注意到： [pic] 易知： [pic] [pic] 1. 定义：设A,B为E中的二个事件，且[pic]，则在事件A已发生的条件下，事件B发生的条 件概率定义为：[pic].同样若[pic]，则[pic]。 2. 性质（定理） 如果[pic],则[pic]是概率. [pic] 3. 计算方法 法一：公式计算法; 法二：直接计算法. 不难验证，条件概率P(·/A)符合概率定义中的三个条件： 1.非负性 2.完全性 3.可加性 P19 例2 P19，。 下面的例11--13为第一版。 例11：甲乙二厂同生产一种零件，分放在二个箱内，它们产品的情况如下： | | 正品 | 次品 | 小计 | | 甲厂 | 50 | 20 | 70 | | 乙厂 | 25 | 5 | 30 | | 小计 | 75 | 25 | 100 | 从中任取一件产品，求下列事件的概率： （1）“取得的一件产品是甲厂产品”=A; (2)“取得的一件产品是次品”=B; (3)“取得的一件产品是甲厂生产的次品”; (4)已知取得的一件产品是甲厂生产的，求它是次品的概率。 例12：在标号依此为[pic]的15个同类球 中，任取一球。易算出下列事件的概率和条件概率。 (1)取得“标号为偶数”（事件A）的概率；...
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