随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征

讨论随机变量数字特征的原因
（1） 在实际问题中，有的随机变量的概率分布
难确定，有的不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。
（2）实际应用中，人们更关心概率分布的数字特征。
（3）一些常用的重要分布，如二项分布、泊松
分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布。

§4.1 数学期望
一、数学期望的概念
1.离散性随机变量的数学期望
例4．1：大学一年级某班有32名同学，年龄情况如下：
年龄 17 18 19 20 21 22
人数 2 7 10 8 4 1
求该班同学的平均年龄。
解：
平均年龄=

把上式改写为：

设X为从该班任选一名同学的年龄，其概率分布为
X 17 18 19 20 21 22
P 2/32 7/32 10/32 8/32 4/32 1/32



定义4.1：设离散型随机变量X的分布列为：

x1 x2 x3 …. xk ….

p1 p2 p3 …. Pk ….

若 绝对收敛（即 ），则称它为X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即

若 发散，则称X的数学期望不存在。
说明：
（1）随机变量的数学期望是一个实数，它体现了随机变量取值的平均；
（2） 要注意数学期望存在的条件： 绝对
收敛；
（3） 当X服从某一分布时，也称某分布的数学
期望为EX 。

例4．2：设X服从参数为p的两点分布，求EX
EX=p

例4．3：设XB(n,p)，求EX
EX=np

例4．4：设X服从参数为的泊松分布，求EX
EX=

2.连续型随机变量的数学期望

定义4.2: 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x).若积分 绝对收敛，（即 ），则称它为X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即
若 ，则称X的数学期望不存在。

例4.5:设X服从U[a,b],求E(X)。
EX=
例4.6:设X服从参数为的指数分布，求EX
EX=

例4.7: ，求EX
EX=

下面分析书上P101---P104例。
例1 P101

例2 P101

例3 P102---103
解：注意由于8:00~9:00, 9:00~10:00都恰有一辆车到站，所以(i)8:00到车站的旅客在8:50前一定会上车，而(ii)8:20到车站的旅客则可以直到9:50才会上车。

例4 P103


3.随机变量函数得数学期望
定理4.1:设随机变量X的函数为Y =g(X)，
(1) 若离散型随机变量X的分布律为
,k =1,2,… ， 绝对收敛，则Y的数学期望存在，且
(2) 若连续型随机变量X的概率密度为
f(x), Y =g(X)也是连续型随机变量， 绝对收敛，则Y的数学期望存在，且


定理4.2:设二维随机变量（X ,Y )的函数Z=g(x,y)
(1) 若二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律
为


且有 绝对收敛，则Z的数学期望存在，且

(2) 若二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密
度为 f (x,y),Z=g(X,Y) 也是连续型随机变量,并且 绝对收敛，则Z的数学期望存在，且


例5 P106

例6 P107

例7 P107

以下为第一版例。
例4.8:设XU0,，Y= ,求E(Y )。
例4.9:设（X,Y）的联合分布律为

其中
求E(XY)。

二.数学期望的性质
性质1:若c为常数，则
E(c)=c。
性质2:若c为常数，随机变量X 的数学期望存在，则:cX的数学期望存在，且E(cX)=cE(X)

性质3:若二维随机变量(X,Y)的分量X,Y的数学期望都存在，则X+Y的数学期望存在，且
E(X+Y)=E(X)+E(Y)

推论:若n维随机变量（X1,X2,..., )的分量X1,X2,..., 的数学期望都存在，则X1 + X2 +...+ 的数学期望存在，且


性质4:若随机变量X,Y相互独立，它们的数学期望都存在，则X•Y的数学期望存在，且


推论:若随机变量X1,X2,....,Xn相互独立，它们的数学期望都存在，则X1X2…Xn的数学期望存在,且


性质5:若随机变量只取非负值，又E(X)存在，则E(X)0。

若 对任何 ， 存在，则
。
特别地，若 为常数， 存在，则 。

例8 P109

例9 P110

第一版例

例4.14：设一批同类型的产品共有N件，其中次品有M件。今从中任取n（假定n≤N-M）件，记这n件中所含次品数为X，求E（X）。

三.综合性的例题（第一版）
例:设X的概率密度为
，
其中a,b为常数，且E（X）= 。求a,b的值。
注意：f(x)中有几个未知数要建几个方程来求之。

例: 射击比赛规定：每位射手向目标独立重复射击四法子弹，全未中的0分，仅中一发得15分，恰中两发得30分，恰中三发得55分，全中得100分。若某射手的命中率为0.6，求他得分的数学期望。


例:某水果商店，冬季每周购进一批苹果。已知该店一周苹果销售量X(单位:kg)服从U[1000,2000]。购进的苹果在一周内售出，1kg获纯利1.5元；一周内没售出，1kg需付耗损、储藏等费用0.3元。问一周应购进多少千克苹果，商店才能获得最大的平均利润。


§4-2 方差
一.方差的概念
1、定义4.3:设 随机变量X的数学期望为E(X),若E(X-E(X))2存在，则称它为X的方差（此时，也称X的方差存在），记为D(X)或Var(X),即
D(X)=E(X-E(X))2
称D(X)的算术平方根 为X的标准差或均方差，记为 ，即

由数学期望的性质5知，若随机变量X的方差D(X)存在，则D(X)0。简言之，方差是一个非负实数。
当X服从某分布时，我们也称某分布的方差为D(X)。

2、计算方差
（1）若X是离散型随机变量，其分布律为pi=P(X=xi),i=1,2,...,且D(X)存在，则

（2）若X是连续型随机变量，其概率密度为f(x),且D(X)存在，则


（第一版）
例1：设XB(1,p)，求D(X)
例2：设XN(,2)，求D(X)
例3：设XU[a,b]，求D(X)


(3)D(X)=E(X2)-(EX)2

证明：P112.

例1 P112
例2 P112

（第一版）
例4：设X()，求D(X)
例5：已知 ，求


二.方差的性质

性质1:若C为常数，则
D(C)=0
性质2:若C为常数,随机变量X的方差存在，则CX的方差存在，且
D(CX)=C2D(X)

证明由自己完成

性质3:若随机变量X,Y相互独立，它们的方差都存在，则XY的方差也存在，且
D(XY)=D(X)+D(Y)
证明：P113

推论:若随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，它们的方差都存在，则X1+X2+...+Xn的方差存在，且


性质4:若随机变量X的方差存在，对任意的常数CE(X),则
D(X)= E(X-C)2
即函数g(C)=E(X-C)2在C=E(X)处达到最小值D(X)。

性质5若D(X)存在，则D(X)=0的充要条件是:
P(X=E(X))=1

例3 P113

第一版例：
例6：X服从 B(n,p),求D(X).
例7：某种商品每件表面上的疵点数X服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点。若规定表面不超过一个疵点的为一等品，价值十元，表面疵点数大于1不多于4的为二等品，价值8元。某件表面疵点数是4个以上着为废品，求产品价值的均值和方差。
已知
设产品价值为
取值
0 8 10
X (X>4) ( )
(X )
P( Y=k) P(X>4=
1-0.8088
-0.1898 P( )
=P( )-
P( )
=[1-P( )]
-[1-P( )]
=0.1898 P(X )
=1-
P(X )
=0.8088
元


例 ：设随机变量X的方差D(X)存在,且D(X)0令 ,其中E(X)是X的数学期望，求 。



三．契比雪夫不等式(Chebyshev)
契比雪夫不等式：设随机变量X的方差D(X)存在，则对任意的0，均有
P{X-E(X)} 
或等价地
P{X-E(X)}1-

例：P{X-E(X)3σ}0.8889
P{X-E(X)4σ}0.9375
解：P{X-E(X)3σ}1-
=1-
P{X-E(X)4σ}1-

Data;
A=8/9; put a=;
A=15/16; put a=;
Run;
A=0.8888888889
A=0.9375


§4.3 几种生要随机变量的数学期望与方差
P115
这部分结果很重要，要牢记。

P117， 关于正态随机变量的三个重要数据：


=0.6826894921



=0.9544997361




=0.9973002039

SAS的两种计算公式：

data;
p1=PROBNORM(1)-PROBNORM(-1); put p1=;
p2= PROBNORM(2)-PROBNORM(-2); put p2=;
p3= PROBNORM(3)-PROBNORM(-3); put p3=;
run;

p1=0.6826894921
p2=0.9544997361
p3=0.9973002039


data;
p1=2*PROBNORM(1)-1; put p1=;
p2=2*PROBNORM(2)-1; put p2=;
p3=2*PROBNORM(3)-1; put p3=;
run;
p1=0.6826894921
p2=0.9544997361
p3=0.9973002039

也可以验证数据，即以 为中心，需要几倍的标准差 距离所构成的区间，其区间内的概率为上述所示。
Data;
q1=abs(probit((1-0.6826894921)/2));put q1=;
q2=abs(probit((1-0.9544997361)/2));put q2=;
q3=abs(probit((1-0.9973002039)/2));put q3=;
run;

q1=0.9999999999
q2=2
q3=2.9999999959

data;
q1=probit(1-(1-0.6826894921)/2);put q1=;
q2=probit(1-(1-0.9544997361)/2);put q2=;
q3=probit(1-(1-0.9973002039)/2);put q3=;
run;

q1=0.9999999999
q2=2
q3=2.9999999959

注意： 为中心，概率为90%,95%，98%，99%的区间，需要几倍的标准差 距离。

Data;
q1=abs(probit((1-0.9)/2));put q1=;
q2=abs(probit((1-0.95)/2));put q2=;
q3=abs(probit((1-0.98)/2));put q3=;
q3=abs(probit((1-0.99)/2));put q3=;
run;
q1=1.644853627
q2=1.9599639845
q3=2.326347874
q3=2.5758293035

比如，
=0.95

=0.9

等的结论也是常用的。几乎都成常识了。

书示附表1中列出了多种常用的随机变量的数据期望和方差。


§4.4 协方差及相关系数

一.协方差与相关系数的概念
1.定义
定义4.4：设二维随机变量(X,Y),它的分量的数学期望为E(X),E(Y)，若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在，则称它为X,Y的协方差，记为Cov(X,Y),即
Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]

2.计算
(1)用定义计算
若二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布律 i,j=1,2,，且Cov(X,Y)存在,则
Cov(X,Y)=
若二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),且Cov(X,Y)存在，则

（2）、公式
在计算Cov(X,Y)时，除用定义外，有时用下述公式较方便：
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)


第一版例：不讲。
例 :设(X,Y)在圆域 上服从均匀分布，判断X,Y是否不相关。并求Cov(X,Y)。
例 :设(X,Y)的联合分布律为

其中
求 Cov(X,Y),并讨论X,Y的相关性。

说明：
(1)Cov(X,Y)能反映X与Y之间某种联系的程度。
(2)Cov(X,Y)是有量纲的量，其值与(X,Y)的取值单位有关。

3.相关系数
定义4.5:若二维随机变量(X,Y)的分量的方差D(X),D(Y)都存在，且D(X)0,D(Y)0,则称 为X,Y的相关系数，记为XY,即
XY=
定义4.6：若XY=0则称X,Y不相关；
若 称X,Y正相关；
若 则称X,Y负相关。

4.随机变量X,Y独立性与不相关的关系
(1)一般情况下，设 存在，若X,Y相互独立,
则 ，即X,Y不相关。
反之，X,Y不相关,但X,Y不一定独立。

如例 ：（书4.31）（X，Y）在 上均匀分布。可知X，Y 不相关，但X，Y不独立。

(2)特别，对于二维正态分布(X,Y)服从

X,Y相互独立 X,Y不相关。



二 协方差与相关系数的性质
1.性质
性质1:若X,Y的协方差Cov(X,Y)存在，则
E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)
性质2:若(X,Y)两个分量的方差都存在，则
D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)
推论:若(X1,X2,,...Xn)各分量的方差都存在，则

性质3:设下述各式所出现的协方差都存在，则有
Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
Cov(aX,Y)=a Cov(X,Y)

Cov(X,X)=D(X)
Cov(a,X)=0 其中a为常数


例3(第一版)：设（X，Y）~ ，求
Cov(2X+Y, )

性质4:若 X,Y的相关系数 存在，则
(1) 1;
(2) =1的充要条件是：存在常数a,b 且a0,使得概率为1的有Y=aX+b, 即
P(Y=aX+b)=1
证法一见书P-120.

几点说明:
(1) 由性质的证明可见： ，a>0 ，这时称X与Y完全正相关； ，a<0,这时称X与Y完全负相关。
完全正相关和完全负相关统称为完全相关，当X与Y完全相关时,(X,Y)可能取的值概率为1的集中在一条直线上。
(2)相关系数 是用来刻画X,Y 线性相关性程度的一个数量。当 越接近于1时，X与Y之间越近似有线性关系；当 较小时， X与Y之间不能认为有近似的线性关系。
(3) 当 时，X,Y不相关，X,Y之间没有线
性关系。这时,X,Y之间的关系较复杂；可能X,Y相互独立(如二维正态分布),可能(X,Y)在平面的某个区域内服从均匀分布(如例4.31)，可能X,Y之间有某种非线性的函数关系(如下面的例4.33)。

例1 P121

§4.5 矩、协方差矩阵

定义4.7:设二维随机变量(X,Y),k,l为非负整数。
若E(Xk)存在，则称它为X的k阶原点矩,简称k阶矩；
若E{[X-EX]k}, k=1,2,….存在，则称它为X的k阶中心矩。
若E(XkYl)存在，则称它为X和Y的(k,l)阶混合矩，记作m kl, 即mkl=E(XkYl)；
若E[(X-E(X))k(Y-E(Y))l]存在，则称它为X和Y的(k,l)阶混合中心矩，记作kl, 即kl=E[(X-E(X))k(Y-E(Y))l]。
显然，数学期望E(X)是X的一阶矩，方差D(X)是X的二阶中心矩,协方差Cov(X,Y)是X和Y的(1,1)阶混合中心矩.

关于矩有下述结论：设k为正整数。
(1) 若E(Xk)存在，则对小于k的一切非负整数
l，E(Xl)存在.这由X1+Xk，即得
EXl1+EXk
(2) 原点矩与中心矩可相互表示。

协方差矩阵

P123—125.
略。

本章练习题
5,6,7,8,9,10,15(1),16,17,22,23,26,28.
随机变量的数字特征